Основные определения и теоремы курса аналитической динамики управляемых систем.

Инерциальная система отсчета
система отсчета, относительно которой свободные тела движутся равномерно и прямолинейно или покоятся.
Преобразование Галлилея
преобразования координат и скорости при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой
Принцип относительности Галлилея
законы и аксиомы механики справедливы в любой инерциальной системе координат.
Сила
нечто, вызывающее ускорение материальной точки.
Аксиомы динамики
  • Существование сил.
  • Если на материальную точку не действуют силы, то точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

  • Второй закон Ньютона.
  • $$ \frac {d(m \vec {V})}{dt} = \vec {F} $$
  • Третий закон Ньютона.
  • Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и направлены вдоль одной прямой, в противоположных направлениях.

  • Независимость действия сил.
  • Если на точку действуют несколько сил, то общее ускорение точки равно векторной сумме ускорений от действия каждой силы в отдельности.

  • Принцип детерминированности Ньютона-Лапласа.
  • Движение материальной точки однозначно определено если заданы координаты, скорость и силы, которые являются причиной этого движения.

  • Аксиома идеальности связи. Дополнительная.
  • При движении несвободной механической системы на нее действуют связи таким образом, что их реакции не совершают работы на любых виртуальных перемещениях. Дополнительные силы, которые могут возникать под воздействием реакций реальных связей и совершать ненулевую работу хотя бы на одном виртуальном перемещении, относятся к силам, законы изменения которых должны быть заданы при описании механической системы, исходя из природы взаимодействия связей c этой системой и исходя из конкретной реализации связей.

Инертность
свойство материальной точки сохранять свою скорость постоянной.
Масса
количественная мера инертности.
Свойства массы:
  • пропорциональна количеству вещества
  • неотрицательная и аддитивная
  • не зависит от движения
Силовое поле
инерциальное пространство или какая-либо его часть, если в каждой точке пространства (этой части пространства) определена сила, которая будет действовать на материальную точку, помещенную в эту точку пространства. Причем величина силы и ее направление действия зависят от координат точки пространства, и быть может, времени.
Механическая система
совокупность конечного числа материальных точек, взаимосвязанных между собой таким образом, что движение любой её точки зависит от движения хотя бы одной другой точки, входящей в эту совокупность.
Связи
некоторые условия, которые налагают ограничения на движения механической системы. Связи задаются с помощью равенств или неравенств, связывающих между собой координаты, скорости точек и время, в возможно и другие величины, например, ускорения точек.
Пример: $$f(\vec{x}, \dot {\vec{x}}, t) = 0 $$
Классификация связей по виду уравнений
Согласно [10] Классификация связей
Голономная механическая система
система, движение которой стеснено только лишь голономными связями.
Стационарная механическая система
система, движение которой стеснено только лишь стационарными связями.
Свободная механическая система
система, движение которой не стеснено связями, задаваемыми кинематическим способом, т.е. с помощью уравнений.
Внешние силы
силы взаимодействия точек механической системы с точками окружающей среды.
Внутренние силы
силы взаимодействия между точками механической системы.
Модель свободной механической системы
Задана система из $N$ материальных точек $P_{\nu}$ c массой $m_{\nu}$, $\nu = 1,2,...,N$. На неё действует система сил $\vec{F_{\nu}}$, где $\vec{F_{\nu}} = \vec{F_{\nu}^{(e)}} + \vec{F_{\nu}^{(i)}} $ - равнодействующая всех сил (внешних $\vec{F_{\nu}^{(e)}}$ и внутренних $\vec{F_{\nu}^{(i)}}$), приложенных к точке $\nu$.
Уравнение Ньютона в свободных системах.
$$m_{\nu} \frac {d^2{\vec {r_{\nu}}}}{dt^2} = \vec{F_{\nu}^{(e)}} + \vec{F_{\nu}^{(i)}} = \vec {F_{\nu}} $$
Возможное положение механической системы
совокупность радиус-векторов $\vec {r_{\nu}}$ являющихся решением системы уравнений геометрических связей $ f_{\alpha}(\vec{r_1},...,\vec{r_N}, t)=0, \alpha=1,...,l $, в некоторый фиксированный момент времени $t$.
Возможное движение
совокупность функций $\vec {r_{\nu}}(t) \in C^2$, которые при подстановке их в уравнения связей обращают их в тождества по $t$. С учетом соотношений $\vec {V_{\nu}} = \frac {d\vec {r_{\nu}}(t)} {d t} $, $\nu = 1,2,...,N $
Возможная скорость
скорость, которую имеет механическая система на возможном движении, проходящее через заданное возможное положение, в заданный момент времени $t$.
Действительное движение
возможное движение, которое удовлетворяет уравнениям построенным на основе аксиоматики Ньютона-Галлилея.
Действительное положение
положение механической системы вычисленное на действительном движении в некоторый момент времени.
Действительная скорость
скорость механической системы, вычисленная на действительном движении в некоторый момент времени.
Модель несвободной механической системы
Задана система из $N$ материальных точек $P_{\nu}$ c массой $m_{\nu}$, $\nu = 1,2,...,N$. Задана система сил $\vec{F_{\nu}}$ действующих на точки системы. Все связи заданы следующим образом: $$ f_{\alpha}(\vec{r_1},...,\vec{r_N}, t)=0, \alpha=1,...,l $$ $$\sum_{\nu=1}^{N}(\vec {\alpha_{\beta \nu}}, \vec {V_{\nu}}) + \alpha_{\beta} = 0, \beta = 1,...,s $$
Уравнение Ньютона для несвободных механических систем
$$m_{\nu} \frac {d^2{\vec {r_{\nu}}}}{dt^2} = \vec {F_{\nu}} + \vec {R_{\nu}} $$ Здесь $\nu = 1,...,N$, $R_{\nu}$ - равнодействующая реакций связей действующих на точку $\nu$
Принцип освобождаемости от связей
Действие любой связи на несвободную механическую систему можно заменить силой, называемой реакцией связи, добавить её к активным силам, и мыслить систему освобожденной от той связи, которая эту реакцию создает.
Виртуальное перемещение механической системы
совокупность векторов $\delta \vec {r_{\nu}}$ являющихся решением однородной системы алгебраических уравнений: $$ \sum_{\nu = 1}^{N}(grad_{\nu}f_{\alpha}, \delta \vec{r_{\nu}}) =0, \alpha = 1,2, ..., l$$ $$ \sum_{\nu = 1}^{N} (\vec {a_{\beta \nu}}, \delta \vec{r_{\nu}})=0, \beta=1,2,...,s $$ Либо в координатах $$ B \delta \xi = 0$$ Здесь будет ссылка на структуру и вывод матрицы $B$.
Виртуальная работа
$$\sum_{\nu = 1}^{N} ( \vec {R_{\nu}} , \delta \vec{r_{\nu}}) $$ здесь $\vec {R_{\nu}}$ - равнодействующая реакций связей на точку $P_{\nu}$.
О каноническом разложении реакций связей
Реакцию $R$ любой системы связей, такой что $$rank(B)=l+s$$ всегда можно представить в виде: $$R = R_1 + R_2$$ Здесь $R_1=B^* \gamma$ - идеальная составляющая реакции связи, а $B R_2=0$ - неидеальная составляющая.
Идеальная система связей
система связей, если работа их реакций $\vec {R_{\nu}}$ на любых виртуальных виртуальных перемещениях $\delta \vec{r_{\nu}}$, в любых возможных положениях $\vec{r_{\nu}}$ механической системы равна нулю: $$\sum_{\nu = 1}^{N} ( \vec {R_{\nu}} , \delta \vec{r_{\nu}}) = 0 $$ при любом $t$
Формула Лагранжа для реакции идеальной системы связей. (Необходимые и достаточные условия идеальности связи.)
Система связей называется идеальной, если реакции связей представимы в виде $$ \vec {R_{\nu}} = \sum_{\alpha = 1}^{l} \lambda_{\alpha} grad_{\nu}f_{\alpha} + \sum_{\beta = 1}^{s} \mu_{\beta} \vec{\alpha_{\beta \nu}}, \nu = 1,2,...,N $$ при всех возможных положениях механической системы и любой момент времени $t$, где они определены.
Активные и пассивные силы
К активным относятся силы $F_{\nu}$, которые задаются в самой модели движения, а также неидеальные составляющие реакции системы неидеальных связей.
К пассивным относятся силы реакций идеальных связей, а также идеальные составляющие реакций системы неидеальных связей.
Уравнения Лагранжа 1-го рода для неголономных систем.
$$ m_{\nu} \vec {W_{\nu}} = \vec {F_{\nu}} + \sum_{\alpha = 1}^{l} \lambda_{\alpha} grad_{\nu}f_{\alpha} + \sum_{\beta = 1}^{s} \mu_{\beta} \vec{\alpha_{\beta \nu}}, \nu = 1, ... ,N $$ $$ f_{\alpha}(\vec{r_1},...,\vec{r_N}, t)=0, \alpha=1,...,l $$ $$ \sum_{\nu=1}^{N}(\vec {\alpha_{\beta \nu}}, \vec {V_{\nu}}) + \alpha_{\beta} = 0, \beta = 1,...,s $$
Уравнения Лагранжа 1-го рода для голономных систем.
$$ m_{\nu} \vec {W_{\nu}} = \vec {F_{\nu}} + \sum_{\alpha = 1}^{l} \lambda_{\alpha} grad_{\nu}f_{\alpha}, \nu = 1, ... ,N $$ $$ f_{\alpha}(\vec{r_1},...,\vec{r_N}, t)=0, \alpha=1,...,l $$
Разрешимость уравнений Лагранжа 1-го рода, относительно множителей Лагранжа.
Можно показать, что уравнения Лагранжа 1-го рода разрешены относительно множителей Лагранжа. $$\gamma = (BM^{-1}B^{*})^{-1}[\varphi - BM^{-1}F]$$ Следовательно можем найти и вектор $R$. $$R=B^{*}\gamma$$ Данные формулы применимы, как для голономных так и для неголономных систем. Отличия будут вструктуре матрицы $B$ и вектор-функции $\varphi$.
Кинетическая энергия материальной точки
функция $$T=\frac{1}{2} m_{\nu} V_{\nu}^{2}$$
Кинетическая энергия материальной системы
функция $$T=\frac{1}{2} \sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu} V_{\nu}^{2}$$
Зависимость кинетической энергии системы от переменных Лагранжа
$$T = T_2 +T_1 +T_0$$ $$T_2 = \dot {q}^* A(q,t) \dot {q}$$ $$T_1 = A_{1}^{*}(q,t)\dot {q}$$ $$T_0 = \frac {1}{2} \sum_{\nu =1}^{N} m_{\nu} (\frac {\partial \vec {r_{\nu}}}{\partial t})^2$$ Формулы получаются подстановкой в лоб зависимостей скоростей от обобщенных координат и перегруппировкой слагаемых.
Свойства кинетической энергии
  • Если геометрические связи стационарны, то существуют перменные Лагранжа такие, что кинетическая энергия не будет явно зависеть от времени $t$: $$T=T_2 = \dot {q}^* A(q,t) \dot {q}$$
  • При любых значениях $t,q$ и $\dot{q} \ne 0$ функция $T_2 = \dot {q}^* A(q,t) \dot {q}$ является невырожденной, положительно определенной квадратичной формой.
  • При любых значениях $t,q$ и $\dot{q} \ne 0$ функция $T_2 = \dot {q}^* A(q,t) \dot {q}$ является невырожденной, положительно определенной квадратичной формой.
Обобщенная сила действующая по координате $q_j$
величина задаваемая формулой $$Q_j = \sum_{\nu=1}^{N} (\vec{F_{\nu}}, \frac {\partial \vec{r_{\nu}}}{\partial q_{j}}), j=1,2,...,n$$
Обобщенные реакции связей
$Q_{\beta j}^{\text{г}} = \sum_{\alpha=1}^{l} \lambda_{\alpha} \sum_{\nu=1}^{N} (grad_{\nu}f_{\alpha}, \frac {\partial \vec{r_{\nu}}}{\partial q_{j}})$ - обобщенная реакция системы геометрических связей, дейсвтующей по координате $q_{j}$.
$Q_{\beta j}^{\text{к}} = \sum_{\beta=1}^{l} \mu_{\beta} \sum_{\nu=1}^{N} (grad_{\nu}f_{\beta}, \frac {\partial \vec{r_{\nu}}}{\partial q_{j}})$ - обобщенная реакция системы кинематических связей, дейсвтующей по координате $q_{j}$.
Кинематическая лемма Лагранжа
на движениях механической системы справедливы тождества: $$\frac{d }{ dt} \frac {\partial \vec{r}} {\partial {q}} = \frac {\partial \vec{V}}{\partial q}$$ $$ \frac {\partial \vec{V}}{\partial \dot{q}} = \frac {\partial \vec{r}} {\partial {q}} $$
Динамические уравнения Рауса для неголономных систем
$$ \frac {d}{dt} \frac {\partial T}{\partial \dot {q_{j}}} - \frac {\partial T}{\partial q_{j}} = Q_j + Q_{j}^{\text{к}} $$
Уравнения Лагранжа 2-го рода для голономных систем
$$ \frac {d}{dt} \frac {\partial T}{\partial \dot {q_{j}}} - \frac {\partial T}{\partial q_{j}} = Q_j $$ Данные уравнения можно разрешить относительно старших производных $\ddot {q}$: $$ \ddot {q} = A^{-1} (Q-F(\dot{q},q,t) + \frac {\partial T}{\partial q})$$
Потенициальное поле
силовое поле, в котором определена и непрерывно-дифференцируема по совокупности аргументов функция $U(\vec{r_1},...,\vec{r_N},t)$ такая, что $$F_{\nu}=grad_{\nu}(U)$$ Здесь $U$ - силовая функция или потенциал.
Потенциальная энергия
$$\text{П} = - U (\vec{r_1},...,\vec{r_N},t)$$ здесь $U$ - силовая функция или потенциал.
Возможное перемещения
вектор $\Delta \vec{r} = \vec {r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t)$. Здесь $\vec{r}(t)$ - возможное движение материальной точки.
Возможное линейное перемещение системы
вектор $\Delta \vec{r} = \vec {V}(t) \Delta t$, здесь $\vec {V}(t)$ - возможная скорость, имеющий своим началом положение $\vec{r}$.
Действительное перемещения
вектор $d \vec{r} = \vec {r}(t+dt) - \vec{r}(t)$
Действительное линейное перемещение системы
вектор $d \vec{r} = \vec {V}(t) dt$, здесь $\vec {V}(t)$ - возможная скорость, имеющий своим началом положение $\vec{r}$.
Элементарная работа системы сил на линейном перемещении
$$d^{'}A_{\nu} = \sum_{\nu=1}^{N} (\vec{F_{\nu}}, d \vec{r_{\nu}})$$ В случае потенциальных сил $$d^{'}A = dU - \frac {\partial U}{\partial t} dt $$ и если поле стационарно, то $$d^{'}A = dU = -d \text{П} $$
Полная работа системы сил
$$A(t) = \int_{t_1 t_2} d^{'}A_{\nu} =\int_{t_1}^{t_2} \sum_{\nu=1}^{N} (\vec{F_{\nu}}, d \vec{V_{\nu}}) dt $$ Криволинейный интеграл берется на действительном движении $\vec {r}(t)$
В случае стационарного потенциального поля $$A = \int_{t_1}^{t_2}dU = U(\vec {r}(t_2)) - U(\vec {r}(t_1)) = \text{П}_1 - \text{П}_2$$
Полная механическая энергия
функция $$E=T+\text{П}$$
Закон сохранения полной механической энергии
Если все силы дейсвтующие на механическую систему, потенциальны, и потенциал силового не зависит явно от времени, то полная механическая энергия постоянна на любых движениях этой системы $$E=T+\text{П}=const$$
Потенциальное поле обобщенных сил
область $G$ из пространства конфигураций, если для обобщенных сил $Q_j$ справедливы равенства $$Q_j = - \frac {\partial \tilde{\text{П}} }{\partial q_j}$$ В этом случае, функция $\tilde{\text{П}}(q,t)$ называется потенциалом в пространстве конфигураций.
Теорема
Если поле сил потенциально, и потенциал задается функцией $\text {П}(\vec{r_1},...,\vec{r_N},t)$, то при любом выборе обобщенных координат поле обобщенных сил $Q_j$ будет потенциальным и потенциал этого поля $\tilde{\text{П}}(q,t) = \text{П}$
Функция Лагранжа
$$L(\dot {q}, q, t) =T - \text{П} = L_2 + L_1 + L_0 $$ здесь $L_2 = T_2$, $L_1 = T_1$, $L_0 = T_0 - \text{П} $
Уравнения Лагранжа 2-го рода для потенциальных систем
$$ \frac {d}{dt} \frac {\partial L}{\partial \dot {q_{j}}} - \frac {\partial L}{\partial q_{j}} = 0 $$
Оператор Эйлера-Лагранжа
$$E_{q_{j}}() = \frac {d}{dt} \frac {\partial ()}{\partial \dot {q}_{j}} - \frac {\partial ()}{ \partial q_{j}} $$
Уравнение Лагранжа в непотенциальном поле сил
$$E_{q_{j}}(L)=Q_{j}^{np}$$
Закон изменения полной механической энергии
На движениях задаваемых уравнениями Лагранжа 2-го рода в непотенциальном поле сил справедливо равенство: $$\frac {dE}{dt} = \frac {d}{dt} (T_1 + 2 T_0) - \frac {\partial L}{\partial t} + N_{q}$$ здесь $N_{q} = \sum_{j=1}^{n} Q_{j}^{np} \dot {q_{j}}$ - обобщенная мощность.
Следствия из закона изменения полной механической энергии
Если
  • связи стационарны
  • потенциальное поле стационарно
  • непотенциальные силы отсутствуют или же $N_{q} \equiv 0$
  • то $$E=const$$ на любом движении механической системы.
Связь мощности и обобщенной мощности
$$\overline{N} = N_{q} + \sum_{\nu=1}^{N} (\vec{F_{\nu}}, \frac {\partial \vec{r_{\nu}}}{\partial t})$$ здесь $$\overline{N} = \sum_{\nu=1}^{N}(\vec {F_{\nu}}, \vec {V_{\nu}})$$ Если связи стационарны, то $$\overline{N} = N_{q}$$
Функция Якоби. Обобщенная энергия.
$$h(t,q,\dot{q}) = \sum_{j=1}^{n} \frac {\partial L}{\partial \dot{q_j}}\dot{q_j} - L(t,q, \dot{q} )$$
Теорема Якоби
$$h(t,q,\dot{q}) = L_2 - L_0 $$
Связь функции Якоби с полной механической энергией
$$E = h + T_1 +2T_0$$ Если связи стационарны, то $$E(t,q, \dot{q}) = h(t,q, \dot{q}) $$ Если к тому же силовая функция стационарна, то $$E(q, \dot{q}) = h(q, \dot{q}) $$
Закон изменения обобщенной энергии.
$$ \frac {dh}{dt} = ( - \frac {\partial L}{\partial t} + N_q )$$
Закон сохранения обобщенной энергии.
Если
  • $L(q, \dot {q})$
  • непотенциальные силы отсутствуют или же $N_{q} \equiv 0$
то $$h=const$$
Интеграл Якоби
$h(q, \dot{q}) = const$
Совпаднение законов сохранения полной механической и обобщенной энергии
Если
  • связи стационарны
  • потенциальное поле стационарно
  • непотенциальные силы отсутствуют или же $N_{q} \equiv 0$
то $$E(q, \dot{q}) = h(q, \dot{q})=const$$ на любом движении механической системы.
Переменные Гамильтона
$$t,q_1, q_2, ..., q_n,p_1, p_2, ..., p_n$$ Здесь $p_j = \frac {\partial L}{\partial \dot {q_j}}$ - обобщенные импульсы.
Обобщенные импульсы
$$p_j= \sum_{j=1}^{n} (m_{\nu} \vec{V_{\nu}}, \frac {\partial \vec{r_{\nu}}}{\partial q_{j}})$$
Функция Гамильтона
$$H(t,q,\dot{q}) = \sum_{j=1}^{n} p_j \dot{q_j} - L(t,q, \dot{q} )$$
Связь $H$ и $h$
$$ h(t,q, \dot {q}) \Bigr|_{\dot {q} = \varphi (t,q,p)} \equiv H(t,q, \dot {q})$$
Связь производных от $H$ с производными от $L$
$$\frac {\partial H}{\partial t} = - \frac {\partial L}{\partial t}$$ $$\frac {\partial H}{\partial q_j} = - \frac {\partial L}{\partial q_j}$$ $$\frac {\partial H}{\partial p_j} = \dot {q}_j$$ $$ p_j = \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_{j} }$$
Уравнения Гамильтона в непотенциальном поле сил
$$ \dot{p}_j = -\frac {\partial H}{\partial q_j} + Q_{j}^{np} $$ $$ \dot{q_j} = \frac {\partial H}{\partial p_j}$$
Канонические уравнения Гамильтона
$$ \dot{p}_j = -\frac {\partial H}{\partial q_j}$$ $$ \dot{q_j} = \frac {\partial H}{\partial p_j}$$
Закон изменения обобщенной энергии
на движениях описываемых уравнениями Гамильтона справедливо равенство: $$\frac {dH}{dt} = \frac {\partial H}{\partial t} + N_q $$ Здесь $N_q $ - обобщенная мощность непотенциальных сил.
Переменные Рауса
переменные $$t, q_1, q_2, ..., q_n, \dot {q_1}, \dot {q_2}, ..., \dot {q_k}, p_{k+1}, ..., p_{n}$$ Некоторая комбинация переменных Лагранжа $t, q_1, q_2, ..., q_n, \dot {q_1}, \dot {q_2}, ..., \dot {q_k},$ и Гамильтона $ p_{k+1}, ..., p_{n}$.
Функция Рауса
$$R(t,q,\dot{q}, p) = \sum_{s=k+1}^{n} p_s \dot{q}_s - L(t,q,\dot{q})$$ Здесь в правой части в обоих слагаемых есть переменные $ \dot {q}_{k+1}, ..., \dot{q}_{n}$, от которых функция Рауса не зависит. Она зависит лишь от переменных Рауса. Следовательно их нужно заменить $\dot{q_s} = \varphi(t, q, \dot {q}, p )$.
Зависимость функции Рауса от переменных Рауса
Функцию $\varphi$ можно найти в явном виде $$\dot{q} = \tilde{A}_{n-k}^{-1}(t,q)(p_{n-k} - \tilde{A}_{1})(t,q,)$$ Тогда можем записать явную зависимость функции Рауса от перменных Рауса: $$R=\frac{1}{2}[\tilde{p}_{n-k} - \tilde{A}_{1}(t,q,\tilde{\dot{q}}_{k})]^{*} \tilde{A}_{n-k}^{-1}(t,q) [\tilde{p}_{n-k} - \tilde{A}_{1}(t,q,\tilde{\dot{q}}_{k})]$$
Связь производных от функции Рауса с производными от функции Лагранжа
$$\frac {\partial R}{\partial t} = - \frac {\partial L}{\partial t}$$ $$\frac {\partial R}{\partial q_i} = - \frac {\partial L}{\partial q_i}$$ $$\frac {\partial R}{\partial \dot{q_j}} = - \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_{j} } $$ $$\frac {\partial R}{\partial p_s } = \dot{q}_s$$ где $i=1,...,n$, $ j=1,...k$ и $s=k+1, ..., n$.
Связь $R$ и $h$
$$h = R - \sum_{j=1}^{k} \frac {\partial R}{\partial \dot{q_j}} \dot{q}_{j} $$
Уравнения Рауса в непотенциальном поле сил
$$E_{q_j}(R)= - Q_j^{np}$$ $$\dot{q}_s = \frac {\partial R}{\partial p_s }$$ $$\dot{p}_s = - \frac {\partial R}{\partial q_s } + Q_s^{np} $$ где $ j=1,...k$ и $s=k+1, ..., n$.
Уравнения Рауса в потенциальном поле сил
$$E_{q_j}(R)= 0$$ $$\dot{q}_s = \frac {\partial R}{\partial p_s }$$ $$\dot{p}_s = - \frac {\partial R}{\partial q_s }$$ где $ j=1,...k$ и $s=k+1, ..., n$.
Циклические и позиционные обобщенные координаты
Координата $q_s$ называется циклической если:
  • $L$ не зависит явно от $q_s$
  • непотенциальная обобщеная сила по этой координате $Q_{s} \equiv 0$
  • Потенциальные силы по другим обобщенным координатам не зависят от $q_s$
Нециклические координаты называются позиционными.
Скобка Пуассона
для двух дважды непрерывно дифференцируемых функций $f(t,q,p)$, $g(t,q,p)$ $$(f,g) = \sum_{j=1}^{n}( \frac {\partial f}{\partial q_j } \frac {\partial g}{\partial p_j } - \frac {\partial f}{\partial p_j} \frac {\partial g}{\partial q_j} ) $$ Свойства: $$ (f, f) = 0$$ $$(f, c) = 0$$ $$(f, g) = -(g, f)$$ $$(cf, g)=(f, cg)=c(f, g) $$ $$(f+h, g)=(f, g)+(h, g)$$ $$ \frac {\partial(f, g)}{\partial t}=(\frac {\partial f}{\partial t}, g)+(f, \frac {\partial g}{\partial t})$$ $$ ((f, g),h) + ((g, h),f) +((h, f),g) \equiv 0 $$
Фундаментальные скобки Пуассона
  • Если $f=q_i$ и $g=q_j$, то $$(f,g)=(q_i,q_j)=0$$
  • Если $f=p_i$ и $g=p_j$, то $$(f,g)=(p_i,p_j)=0$$
  • Если $f=q_i$ и $g=p_j$, то $$(f,g)=(q_i,p_j)= {\delta}_{ij}$$
Канонические уравнения Гамильтона через скобки Пуассона
$$ \dot{p}_j = (p_j,H)$$ $$ \dot{q_j} = (q_j,H)$$
Условие существования первого интеграла конических уравнений Гамильтона
функция $f(t,q,p)$ - первый интеграл канонических уравнений Гамильтона, если производная от $f$ в силу системы тождественно равна нулю во всей области определения решения задачи Коши. $$W(t,q,p) = \frac{\partial f}{\partial t} + (f,H) \equiv 0$$
Теорема Якоби-Пуассона
Если $f_1$ и $f_2$ первые интегралы канонических уравнений Гамильтона, тогда $(f_1,f_2) \not \equiv const$ тоже является первым интегралом этой системы.
К списку предметов
На главную