Материалы для учёбы ПМ-ПУ

Электронные конспекты, экзаменационные вопросы, дополнительная литература, шпаргалки, варианты контрольных работ, дополнительные материалы.

Инструменты пользователя

Инструменты сайта


course:tud:gloss

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
course:tud:gloss [2019/03/30 10:47]
kadeat [Устойчивость линейных автономных систем]
course:tud:gloss [2019/04/01 19:30] (текущий)
kadeat [Устойчивость линейных автономных систем]
Строка 302: Строка 302:
  ​Система \eqref{eq:​14.1} асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда $Re\lambda_i < 0$, для ​ $i = \overline{1,​n}$.  ​Система \eqref{eq:​14.1} асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда $Re\lambda_i < 0$, для ​ $i = \overline{1,​n}$.
  
 +
 +===== Устойчивость полиномов =====
 +Рассматриваем полином
 +
 +$$
 + ​f(\lambda) = a_0\lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \dots + a_{n-1}\lambda + a_n, a_0 > 0.
 + ​\label{eq:​16.1} \tag{16.1}
 +$$
 +
 +** 16. Устойчивый полином (полином Гурвица)**
 +
 +Полином \eqref{eq:​16.1} называется устойчивым,​ если все его корни имеют отрицательные вещественные части
 +$$Re\lambda_i < 0, j = 1,\dots, n.$$
 +
 +** 17. Теорема Стодолы **
 +Если полином \eqref{eq:​16.1} устойчив,​ то все его коэффициенты положительны
 + $$ a_j > 0, j = 1, \dots, n .$$
 +
 +
 +** 18.  Матрица Гурвица**
 +
 +Для исходного полинома $f(\lambda)$ \eqref{eq:​16.1} построим матрицу Гурвица,​ используя его коэффициенты
 +
 +$$
 +  \Gamma = \left(
 +\begin{array}{ccccccc}
 +a_1   & a_0   & 0   & ​ 0     & \dots & 0       & 0\\
 +a_3   & a_2   & a_1 & a_0    &  0    & \dots   & 0\\
 +a_5   & a_4   & a_3 & a_2    & a_1   & \dots   & 0\\
 +\vdots& ​      & ​    & \ddots &       & ​        & \vdots\\
 + ​0 ​   & \dots &     & ​       &       & a_{n-1} & a_{n-2}\\
 + ​0 ​   & \dots &     & ​       &       & 0       & a_n
 +\end{array}
 +   ​\right).
 + ​\label{eq:​18.1} \tag{18.1}
 +$$
 +
 +
 +** 19. Критерий Рауса-Гурвица **
 +
 +Для того чтобы все корни полинома \eqref{eq:​16.1} имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно,​ чтобы были положительны все главные миноры его матрицы Гурвица \eqref{eq:​18.1}.
 +
 +** 20. Критерий Льенара-Шипара **
 +
 +Для того чтобы все корни полинома \eqref{eq:​16.1} имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно,​ чтобы выполнялись условия:​
 +  - $a_j > 0, j = 1, \dots, n$
 +  - $\Delta_{n-1} > 0, \Delta_{n-3} > 0, \Delta_{n-5} > 0, \dots$, где $\Delta_j$ главные миноры матрицы Гурвица.
  
course/tud/gloss.txt · Последние изменения: 2019/04/01 19:30 — kadeat